なので、(9)式の積分すると、
この微分方程式が解けず、答えもわからず困っています。特性微分方程式にすると積分係数が0になってしまいま... θ=120°などの場合はxの座標が-cos(θ+dθ)や- cosθとなるため、微分の式はlim n→0 {-cos(θ... フーリエ級数に関する質問です
Help us understand the problem.
41 54 $S=4\int_{\frac{\pi}{2}}^0 b\sqrt{1-\cos^2\theta}(-a)\sin\theta d\theta\\ $$V=\int\int\int dxdydz=\int\int\int |J|dr d\phi d \theta=\frac{4}{3}\pi R^3・・・(30)$$, では最後に楕円の体積を求めてみましょう。 3 楕円の面積. 0000003900 00000 n 0000004154 00000 n これは楕円の面積を求めた方法と手順は同じで、もう既に手法は紹介し尽くしているので結構簡単に結果を導くことができます。, 楕円体
確かに、 0000002769 00000 n しかし、CDは厳密には$(r+dr)d\theta$と書けますが、微小量の2次以上は消去するとすると、結局$rd\theta+drd\theta\simeq rd\theta$となるので、AB=CDとなります。, このように簡単な場合は微小面積は幾何学的に求めることができるので、求めたい面積$S$というのは、 0000033722 00000 n 0000009763 00000 n 4.5の(2)の問題がわかりません。1の答えを用いて、項別積分すればいいのでしょうか？. $$S=\int\int dxdy=\int\int r dr d\theta・・・(23)$$ =\pi ab$. dz=ie^(iθ) 0000008142 00000 n +, ※質問に添付された画像から自動で抽出しているため、一部画像と異なるテキストが入っている場合があります, 林 俊介 $$y(r,\theta)=r\sin\theta・・・(12)$$, $x,y$は$r,\theta$を独立な変数として持ちます。 なので とみ... せっかく解いたのなら、自分で解いた答えを載せてもらった方がお互いのためになると思います。 誠に恐れ入りますが、下記の推奨ブラウザをご利用くださいませ。 sin x/x, cos xが偶関数である事と不等式が-π/2<x<0の時にも成り立つこ... 確率変数です。 $\frac{\partial x}{\partial \theta}=r\cos\theta$, だから、(15)(16)式は、
$$S=\pi ab・・・(26)$$, 結果は、公式通りになったので公式を覚えておけば良いわけですが考え方は非常に重要です。, 球の体積 $$dy=\sin\theta dr+r\cos\theta d\theta・・・(18)$$, $$J=r\cos^{2}\theta+r\sin^{2}\theta=r・・・(22)$$, だから求めたい面積$S$は、 0000020581 00000 n 3：ガウスグリーンの定理を使う方法, 1は積分を知らなくても理解できる方法ですが，円の面積公式は認めてしまいます。残り二つは定積分を用いる方法です。どちらも積分を用いた求積のよい練習問題です。, 曲線 $\:f(x,Ay)=0$ は $\:f(x,y)=0$ を $y$ 軸方向に $\dfrac{1}{A}$ 倍に引き伸ばしたものであることを使います。→関数のグラフの拡大・縮小の証明と例, 楕円の式：$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ の両辺を $a^2$ 倍すると， $r,\theta$は、$x,y$を独立な変数として持ちます。 $$dx=\cos\theta dr-r\sin\theta d\theta・・・(17)$$ 逆に、 $$V=\int\int\int dxdydz$$ $$S=\int\int dxdy$$ $$V=\int\int dxdydz$$ です。, ここで、変数変換をしましょう。 =4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}ab\sin^2\theta d\theta\\ です。, 直接的な方法というのは、円の方程式$x^2+y^2=R^2$を関数として扱って、下記の図の微小面積を$x$について足し合わせることを意味しています。 0000019789 00000 n
=x-1+1/(x^2+x+1) 0000034467 00000 n
0000021506 00000 n
$-R\leq y\leq R$ $x^2+y^2 \leq R^2$である領域の面積を求める。 3 と置くと、良いです。, まず$dx$を求めます。 0000000016 00000 n $$V=\int\int\int r^2\sin\theta dr d\phi d\theta・・・(27) $$ $$V=\int\int dxdydz=abc\int\int dudvdw$$, もうここまで来たら、$dudvdw$を積分した値は「半径1の球の体積と同じ($\frac{4}{3}\pi 1^3$)」だから、 →見通しが良いからです。 3�Y�Z��q�:Y��S���tFnk%��Z�t��P�� ����v�QB1WM �l*�`�� 94 0 obj<>stream になります。 (6zi 2xj 3yk) ndS $-c\leq z\leq c$ 41 0 obj <> endobj 0000007345 00000 n
これは，円：$x^2+y^2=a^2$ を $y$ 軸方向に $\dfrac{b}{a}$ 倍に拡大したものである。 1/(1+e^(ax+b))
問題は下記です。 答えは下記のようになるのですが、これはyz平面に正射影しないでとけないのですか。x=2cosθ、y=2sinθ、z=zの座標変換で、上面・側面・下面にわけて積分しようと思いました。何が間違っているのかと、もし上記の座標変換でできればどうなるかを教えてほしいです。 $$S=\int\int rdrd\theta・・・(9)$$となります。, ここで、変数$r$と$\theta$の範囲は、 0000027342 00000 n =[-(V/iW)e^(-iWt)] 0000008323 00000 n
極限の証明です。 です。, もちろん(1-A)の方法で計算することもできますが、面倒なので(1-C)の方法を駆使して楕円の面積を求めたいと思います。, まず、楕円のまま面積を計算するのはめんどうなので、楕円を円に変換してやりましょう。, それは、 楕円錐台の底面と上面の半軸と高さから体積、側面積 ... 自動計算で楕円錐台の体積を求めたいのですが、b2について、記入する欄がなく、困っております。 ... 斜切円柱の体積. �%/q�����*��˛�g%�-J慳8��BS�g��,�u�P\!��5����p�TLìG���F��6�Zf�R��㕃|�wY�k"�*ǖ�;��� L�( � これでは積分が実行できないので、+記号だけ使います。, $$S=2\int_{-R}^{R} \sqrt{R^2-x^2} dx ・・・(4)$$, さてこれを実行すれば良いのですが、ルートが存在すると積分できないので、置換積分しましょう。（変数を置き換えることになります）, 例えば、この場合であると、 dy d
しかし、(A)の方法はあくまでデカルト座標での積分の方法であって球を表現するのに必ずしもデカルト座標で考えることが良いとは限らないので積分の方法もそれに適した方法を選択する方が良いでしょう。, 微小体積は絵の通り、 ・ｘ１＝ｒｃｏｓα... ざっくりした解答ですが、おそらくこれはベッセルの微分方程式です。 �a�c��t�ױ�n"�a�u-IH�_B�q�Y�`}T9)!�j�[s�x���{��RXJ@fe��&��(@:g�KUY�J��N���S�\j~�p�_������pS� սJ�N�+L*Y8�� �ݔGG��~5:�������zM�v�� 0000022365 00000 n です。 dx2(ξ1)=0 よろしければご協力お願いします。. 下記のように極座標表示に変数を変換して、面積を求めても良いです。
ブログをやっています。
0000002433 00000 n 実際、(11)(12)から、 0000038423 00000 n プログラミングの思いつきメモと物理の勉強メモとして使っています。 $x=rcos\theta$, それぞれの変数の範囲は、 $$y=\pm\sqrt{R^2-x^2}・・・(2)$$ 惑星は，一定の面積速度で楕円軌道を公転している。従って，公転周期は楕円の面積を面積 速度で割って得られる。楕円の面積S は，楕円の長軸半径a と短軸半径b によってS = πab と表されるから，公転周期T は T = S h/2 = 2πab h (7.24) である。
$x^2+(\dfrac{a}{b}y)^2=a^2$ となる。 と書けます。, 求めたい面積は、 となりますので、これを求めれば良いことになります。, 半角の公式$\cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}{2}$を使えば、(7)式は、, $$S=2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}R^2\cos^2\theta d\theta=2R^2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1+\cos2\theta}{2}\theta d\theta=2R^2\bigg[\frac{\theta}{2}+\frac{1}{4}\sin2\theta\bigg]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=\pi R^2・・・(8)$$
f(r)にはベッセル函数が出てくるはずです。θ方... a≠0のとき !�>c�v�RDQu+�d�����������>��am��-�_9ja\k���n ������Wsg���[s}�\���m5����1R8�jt0j�Ǽ��'A�w����F����L�8�!
$-a\leq x\leq a$ 積分：グラフの面積または、微分の逆演算
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初歩的な質問で申し訳ないのですが テイラー展開を勉強しているとテイラー展開して求め... 微分積分です。
xref ��82x�r2�0A��, �{��-@� _��g 0000023531 00000 n 楕円の面積公式： $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \:(a, b > 0)$ で表される楕円の面積 $S$ は $S=\pi ab$, ・ $a=b$ の場合，曲線の方程式は $x^2+y^2=a^2$ となり，半径 $a$ の円を表します。よって，面積は $\pi \cdot a\cdot a$ となり楕円の面積公式は確かに正しいです。つまり，楕円の面積公式は円の面積公式を含んでいます。, 楕円 $\dfrac{(x+10)^2}{9}+\dfrac{(y-1)^2}{16}=1$ の面積を求めよ。, 平行移動しても楕円の面積は変わらないので，$\dfrac{x^2}{3^2}+\dfrac{y^2}{4^2}=1$ の面積を求めればよい。 $-b\leq y\leq b$
-dcosθ/dsinθ=sinθ/cosθ endstream endobj 42 0 obj<> endobj 43 0 obj<> endobj 44 0 obj<>/Font<>/ProcSet[/PDF/Text/ImageB]/ExtGState<>>> endobj 45 0 obj<> endobj 46 0 obj<> endobj 47 0 obj<> endobj 48 0 obj<> endobj 49 0 obj<> endobj 50 0 obj<> endobj 51 0 obj<> endobj 52 0 obj<>stream
にな... ざっくりお答えします $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\leq 1$ $y=\pm b\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}}$ となる（楕円の上半分がプラスの符号，下半分はマイナスの符号に対応している）。 $\frac{\partial x}{\partial r}=-r\sin\theta$ 微分方程式です。 1/(x^2+x+1)の積分では =4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}ab\dfrac{1-\cos 2\theta}{2}d\theta\\ $$dx=R\cos\theta d\theta・・・(6)$$ なのですから、$dx$,$dy$が必要なります。, 全微分公式より、 $$x=R\sin\theta・・・(5)$$ よって，楕円の面積公式より答えは $\pi \cdot 3\cdot 4=12\pi$, 1：グラフの拡大を用いる方法 二つ目、黒と赤色の細長い... 連続型確率変数の二乗の期待値は、二乗したものを確率密度関数にかけて積分すること求められるのはなぜですか？, 数学 微分積分学です。 となるので、 解は-1/2です。. ;om���oFAR �����D������V ���M\��bP1�vAu� PDH I����2_��h����H`�ktA �t$W�ԃ-��@��1UH�-X$���т݀�!����+S�ΆPg6�� � O 2：愚直に定積分を計算する方法 ・一つ目、どうやってθを含む三角形を作ったのでしょうか？ 0000031569 00000 n (6zi2xj-3yk)
= sinθ cosdθ+ cos... 積分とテイラー展開の違いです。 $dV=r^2\sin\theta dr d\phi d\theta$, だから求める体積は、 0000032107 00000 n
・ a=b の場合，曲線の方程式は x2+y2=a2 となり，半径 a の円を表します。よって，面積は π⋅a⋅aとなり楕円の面積公式は確かに正しいです。つまり，楕円の面積公式は円の面積公式を含んでいます。 ・中心が原点でない楕円の面積も求めることができます。 ステップとして下記のステップを踏んで「4.楕円体の体積」を求めたいと思います。, 【解法】 $y=r\sin\phi\sin\theta$ =e^(-ax)/(e^(-ax)+e^b)
変数$x,y$の領域は、 とします。 ここまでやってみました。変数分離形の微分方程式だと思います。左辺のyの式を頑張って部分分数分解してみてください。logが... θ=120°のとき, cosθそれ自身で負の値になります。-cosθとするとそれは正の値です.実際, cos120°=-... (1)の結果を用います。詳細はここに載っています。https://ja.m.wikipedia.org/wiki/三角関... 線積分ですね。aとdrが同じ方向なのでa・dr=|a||dr|cos0゜=|a||dr|です。. となります。, このようにして変数変換を行って、微小面積は「ヤコビ行列」で変数変換前と後を結びつける（（21)式）ことで、求めたい面積が簡単に求まります。, $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$の内部の面積を求めることになります。, つまり、 0000024511 00000 n 3.1 (2-c)ヤコビ行列を使用する方法; 4 球の体積. sin(θ+dθ)- sinθ
画像の図より三角形EGFからtanθの式を導いた際に tanθ=- sinθ/ cosθと間違った式が得られたのですが、... なぜ正の値としてd sinθが得られるのか。 0000030558 00000 n $$u^2+v^2=1・・・(24)$$
Chrome（グーグル・クローム）, x=2cosθ、y=2sinθ、z=zの座標変換で、上面・側面・下面にわけて積分しようと思いました。, 何が間違っているのかと、もし上記の座標変換でできればどうなるかを教えてほしいです。, ただし、どうやら「底面」は積分しないようです。（でないと答えが合いませんでした。）. 0000003474 00000 n dx2(η1)=1 を計算するにあたって、 $-R\leq z\leq R$
0000002558 00000 n それは後ほど明らかになるでしょう。, 繰り返しになりますが、級の体積であったとしても(A)の方法でももちろん計算は可能です。 0000023227 00000 n you can read useful information later efficiently. %PDF-1.6 %����
よって，楕円の面積 $S$ は青い部分の面積の $4$ 倍なので， 実際に、... ・なぜ点Ｐ（ｘ１，ｙ２）を極座標で表す必要があるのでしょうか。 三角錐: V = 体積 S = 角錐底面積. 図形の性質について。画像の図において、 底面の円の半径が 5 c m で、高さが 10 c m の円柱の表面積を求めなさい。 答え 展開図は右図のようになる。 底面の円周は 2×5×π=10π cm; 円柱の側面積は 10× 10π=100π cm 2; 底面積は 5×5×π=25π cm 2 . の領域の体積を計算することになります。, まず、楕円体のまま体積を計算するのはめんどうなので、楕円体を球体に変換してやりましょう。, それは、 4.1 (3-b)微小面積（体積）を幾何学的に計算して積分する方法; 4.2 (3-c)ヤコビ行列を使用する方法; 5 楕円体の体積. 演習 10 の領域の体積を計算することになります。, ちなみにこれを$R$で微分すると、表面積の$4\pi R^2$になります。 (5)式を使って、
a > 0です。. Why not register and get more from Qiita? 0000003373 00000 n もちろん(27)式のr以外の積分を先にやってしまっても同じ結果が出てきます。, 3変数になるので少々複雑になりますが、基本的な手続きは同じです。 $$S=\int_{0}^{R}\int_{0}^{2\pi} rdrd\theta=2\pi\bigg[\frac{r^2}{2}\bigg]_{0}^{R}=\pi R^2・・・(10)$$, 円の面積を求めるので、何もデカルト座標で頑張って面積を求める必要はないです。